スプライン関数に関するメモ

ここではスプライン関数に関するメモを記します。

まず、スプライン関数に興味を持った経緯です。

（ほぼ）任意のパラメトリック曲線を、いた材を曲げることで

実物モデルを構成する。プロジェクトを3ヶ月前くらいに始めました。

これ

http://web.sfc.keio.ac.jp/~t08189to/eee

このプロジェクトをある研究所でプレゼンをしたところ、

「曲線はなぜスプライン関数でないのか？」

という指摘をいただきました。

自分は無知だったのでスプライン関数の名前はしっていたものの、

その詳細は知りませんでした。

スプライン関数は、あるspline flatという、弾性のある

薄い定規のようなものを任意の点で固定した際にうまれる

自然な曲線です。

数学的には、曲率の二乗の積分値が最小になるような曲線と言えます。

物理的には、歪みエネルギーが最小になるような曲線と言えます。

この２つが同値であることは、証明はしっかり調べていませんが

既に知られていることのようです。

http://sputnik19571103.web.fc2.com/spline.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss'_principle_of_least_constraint

一方私のつくってきたものは曲線を任意の点で固定することで

設計したパラメトリック曲線を実現するというものです。

私はベジェ曲線を使用していたので、曲線を固定する点を設計者が

手動で設定する必要がありました。

しかし、スプライン関数を利用すれば、制御点（B-スプラインで実装する

場合は、固定点（knots））がそのまま、固定すべき点になるという

fabricationモデルと、数理モデルが一致した非常にシンプルなモデルに

書き換えることができます。(最初からしっかりとサーベイすべきでした...)

さらに、これにより問題となっていた実物モデルと数理モデルの誤差
http://web.sfc.keio.ac.jp/~t08189to/picpic
も解決されるように思えます。

今後予定している、3次元空間上での曲線関しては別のモデルを適応する

かもしれません。（写真は試作）

今後の実装の手順
・先ず、ここにあるようなインターフェースを参考にしCAD部分を実装
・fabricationにつなげるための単位、マス目、図面の生成（微積）を実装
参考にするinterfaceはこちら。
http://demonstrations.wolfram.com/BSplineCurveWithKnots/

解析入門-杉浦光夫

杉浦氏の解析入門のp105を読んでいます。
ニュートンの逐次近似法の証明のところをきょうやっていたが、
証明の中の最後の式変形がなんというかエレガントすぎる（？）というか
こんな変形思いつくの無理ゲーだろw　という感じだったので、
泥臭い証明を自分でしていた。
証明ここで書きたいけどきょうは疲れたし後日...
式変形で証明するより、論理的なつながりで証明する方が自分には
合っている。式変形も、もちろん論理的ではるけど論理を追いにくいし
なんといっても、そんなもん思いつくか（涙）ってなるから　あれ。

情報源の整理

"Circumstances don't matter. Only my state of being matters. What state of being do I prefer ? "


ということでtwitterを止めました。


今後はブログで関連研究や興味深い研究をチェックしていく。
まず以下の研究を網羅的にチェックする。
僕は国内がすごく面白い研究があるなと思います。
もちろん海外の情報がまだあまり調べていないということはありますが。
CG〜Fabricationを結ぶ研究が国内外で盛んになるとおもしろいなと思うし
僕の研究も当分はここにマッピングできるんじゃないかと思う。
(国内)
・筑波大学　三谷純先生による折り紙の研究
・東京大学　五十嵐研究室の　梅谷信行さんの研究
・東京大学　舘知宏先生による折り紙・建築の研究
・京都大学-xanxys
(海外)
・shape to fabrication
・KAUST-Architectual Geometry
・Sigraphでのfabrication系
（これは非常に重要だが、リンク多いのでとりあえずなし）
・建築系列-achim menges
・inspiration-Neri Oxman  

まだ、いろいろあるけど、とりあえず。
いわゆるdigital fabrication系は実はあまり興味がない。
すっごく面白いし、inspirationを与えてくれるけど、
digital fabrication的な”作り方”を本当のオルターナティブにするには、
それらだけでは不十分である。

computation - fabrication - comprehension

他分野で特筆すべき研究が見られたのでその解説と自分の研究との関わりを述べる。

ここで挙げる "The Advanced Educational Modeling Laboratory"
http://www.concord.org/~qxie/

では物理現象等の教育に特化したインタラクティブなシミュレーションツールを開発し、

そのシステムが工学・科学の学習にどのような効果を挙げるかを研究するグループ

である。実は科学や工学ではこのような、新しい知見を得るためや

これまでにない人工物を開発する為に、自前でツールを用意し対話的・発見的に
研究・開発を行うことは常である。

ここで、この研究所のリーダーである物理学者のCharles氏はこの対話的・発見的に
学習を行い研究を発展させる”学習プロセス”に注目し、この研究を立ち上げたようだ。

さて、物理現象はさまざまな事象が相互作用する複雑な”場”です。この現象を”わかる”

ことは非常に困難である。例えばその場を支配する数式が理解でききたからと行って

現象が”わかった”とは必ずしも言えない場合があるだろう。物理現象には複数の

状態があり、その状態は動的に遷移し、各々の状態に物理的な”意味”があるからだ。

ここで現象を”わかる”とはまさに体得(comprehension)するというような意味で、

流れの中でダイナミックに理解するとでも言える”理解”である。

この研究では、インタラクティブなシミュレーションツールを開発することで、

物理的な場を支配する変数を変化させ、インタラクティブに、どのように

現象が遷移するかを体験することができる。そして、スクリーンショット等で現象を

切り取り現象の記述することができる。（理解度の検証）

さてここで私が思うのは、やはり　”　現象を切り取り現象の記述する　”

ではどうしても”むずむず”するということです。

そこで、ものづくりのための、対話的なシミュレーションおよび開発ツールが

出てくるわけです。詳しくは割愛するが、東大五十嵐研究室の梅谷氏の研究

やGreg氏、東京大学助教の館氏はインタラクティブに物理環境をシミュレートし

その上で設計を行うことで人間では到達不可能な形態・機能を持った人工物を

生み出している。当然のことながら、ものづくりは現実の世界で行われるため
ここでは古典的物理法則支配する場として、その世界がシミュレートされる。
（物理的制約）そして、もう一つ作るもの自体のもつ形態の制約（幾何学的制約）
最後に、（設計・製造における制約）この３つの制約が絡み合った複雑な
対象が　”現象としてのモノづくり”　である。

ここで設計者は現象の理解と同時に設計を行いこれまで不可能で

あった人工物をつくっていることになる。ここでは、”　現象を切り取り現象の記述する　”

ではなく　”   　現象を理解し、切り取りとったり、設計したり    ” 　を繰り返すことで

人工物をつくる、まるで砂場で子供が遊ぶようなシステムが作られている。

ところで、わたしもこのような砂場を作りたくてしかたがない。

さてこの曲げ木はコンピュターで設計した曲線がそのまま作れるというものである。

まだ、様々な問題点はある者のとりあえず形になった。曲率に応じた切り込みパターン

を合板に刻むことで局所的に弾性の異なるストライプを生成する。その後、

曲率に応じて部材同士の接合部を設定し、木の自然な曲げによって目的の曲線を表現する。

さてさて、ここではまだ、物理的な場は出てこないが、幾何学的な条件を可視化し

その状態を見て対話的に設計するシステムと成っている。

今後は物理的な条件もできるだけこのシステムに盛り込んで行きたい。

さらに、３次元的な曲線も作れるシステムに発展させたい。

he Advanced Educational Modeling Laboratory